Question

如圖，圓M過(guò)點(diǎn)A（-

3

，0）、B（

3

，0）、C（0，-3），且與y軸的正半軸交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）已知弦EF過(guò)原點(diǎn)O．
（ⅰ）若|EF|=

15

，求EF所在的直線(xiàn)方程；
（ⅱ）若弦DF、CE與x軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）解：設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由已知得

3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0 9-3E+F=0

，由此能求出圓M的方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)EF的方程為y=kx，聯(lián)立

x2+y2+2y-3=0 y=kx

，得（k²+1）x²+2kx-3=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出EF所在的直線(xiàn)方程．
（ii）聯(lián)立

x2+y2+2y-3=0 y= 3 x

，得4x²+2

3

x-3=0，解得E（

- 3 + 15

4

，

-3+3 5

4

），F(xiàn)（

- 3 - 15

4

，

-3-3 5

4

），在x²+y²+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．則直線(xiàn)DF：

y-1

x

=

-3-3 5 4 -1

- 3 - 15 4

，直線(xiàn)CE：

y+3

x

=

-3+3 5 4 +3

- 3 + 15 4

，由此能證明|OP|=|OQ|．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓M過(guò)點(diǎn)A（-

3

，0）、B（

3

，0）、C（0，-3），
∴

3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0 9-3E+F=0

，解得D=0，F(xiàn)=-3，E=2，
∴圓M的方程為：x²+y²+2y-3=0．
（Ⅱ）（i）解：設(shè)EF的方程為y=kx，
聯(lián)立

x2+y2+2y-3=0 y=kx

，得（k²+1）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（k²+1）＞0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則：x1+x2=-

2k

k2+1

，x₁x₂=-

3

k2+1

，
∵|EF|=

15

，∴

(1+k2)[(- 2k k2+1 )2+ 12 k2+1 ]

=

15

，
解得k=

3

或k=-

3

（舍）
∴EF所在的直線(xiàn)方程為y=

3

x．
（ii）證明：聯(lián)立

x2+y2+2y-3=0 y= 3 x

，得4x²+2

3

x-3=0，
解得E（

- 3 + 15

4

，

-3+3 5

4

），F(xiàn)（

- 3 - 15

4

，

-3-3 5

4

），
在x²+y²+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．
∴直線(xiàn)DF：

y-1

x

=

-3-3 5 4 -1

- 3 - 15 4

，
令y=0，得|OP|=|x|=

3 + 15

7+3 5

=

4 15 -8 3

4

；
直線(xiàn)CE：

y+3

x

=

-3+3 5 4 +3

- 3 + 15 4

，
令y=0，得：|OQ|=

15 - 3

3+ 5

=

4 15 -8 3

4

．
∴|OP|=|OQ|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查直線(xiàn)方程的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)相等的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．