Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，DP，證明平面PBC⊥平面ABC，只需證明PD⊥平面ABC，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）PD⊥平面ABC，所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$，即可求出三棱錐P-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，DP．
因?yàn)锳D⊥AC，所以DA=DB=DC．
因?yàn)镻A=PB=PC，所以△PAD≌△PBD≌△PCD，
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，
即PD⊥平面ABC 
因?yàn)镻D?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）PD⊥平面ABC
所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\sqrt{9-4}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直，考查三棱錐P-ABC的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．