Question

1．已知函數(shù)f（x）=cosαsinx+$\frac{3}{5}$cosx+1，α為常數(shù)，α∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，且f（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinα和cos2α的值；
（2）求f（x）的最大值、最小值及最小正周期．

Answer 1

分析 （1）借助α的范圍，已知三角函數(shù)值求值．（2）通過(guò)兩角和的正弦公式把三角函數(shù)化簡(jiǎn)，再求最大值、最小值及最小正周期．

解答 解：（1）∵f（$\frac{3π}{2}$）=cosαsin$\frac{3π}{2}$+$\frac{3}{5}$cos$\frac{3π}{2}$+1
=-cosα+1=$\frac{1}{5}$
∴$cosα=\frac{4}{5}$．
∵α∈[$\frac{3π}{2}$，2π]
∴$sinα=-\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$；cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{7}{25}$．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）=cosαsinx+$\frac{3}{5}$cosx+1=$\frac{4}{5}$sinx+$\frac{3}{5}$cosx+1
=sin（x+φ）+1  （cosφ=$\frac{4}{5}$，sinφ=$\frac{3}{5}$）
所以，f（x）的最大值為2，最小值為0，最小正周期為2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，會(huì)把三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)．屬于中檔題．