Question

13．若數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，且a₁=2，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₆₁=527．

Answer 1

分析 b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，a₁=2，可得：a₂=-1．n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，2a_2k+a_2k-1=0．n=2k（k∈N^*）時(shí)，2a_2k+a_2k+1=2．
可得a_2k+1-a_2k=2，a_2k+2-a_2k=-1，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差分別為2，-1．即可得出．

解答 解：∵b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，a₁=2，
∴b₁=2，b₂=1，b₂a₁+b₁a₂=0，a₂=-1．
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，2a_2k+a_2k-1=0．
n=2k（k∈N^*）時(shí)，2a_2k+a_2k+1=2．
∴a_2k+1-a_2k=2，a_2k+2-a_2k=-1，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差分別為2，-1．
∴S₆₁=（a₁+a₃+…+a₆₁）+（a₂+a₄+…+a₆₀）
=$31×2+\frac{31×30}{2}×2$+（-1）×30+$\frac{30×29}{2}×$（-1）
=527．
故答案為：527．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．