Question

已知[x]表示不超過x的最大整數（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定義{x}=x-[x]．給出如下命題：
①使[x-1]=3成立的x的取值范圍是4≤x＜5；
②函數y={x}的定義域為R，值域為[0，1]；
③{

2012

2013

}+{

20122

2013

}+{

20123

2013

}+…+{

20122012

2013

}=1006；
④設函數f（x）=

{x} x≥0 f(x+1) x＜0

，則函數y=f(x)-

1

4

x-

1

4

的不同零點有3個．
其中正確的命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①由題意知[x-1]=3時，有

x-1≥3 x-1＜4

，解得即可；
②由題意[x]≤x＜[x]+1，得x-[x]的取值范圍，即{x}的值域；
③觀察{

2012

2013

}=

2012

2013

，{

20122

2013

}=

1

2013

，{

20123

2013

}=，…，{

20122012

2013

}=

1

2013

，計算{

2012

2013

}+{

20122

2013

}+{

20123

2013

}+…+{

20122012

2013

}的值；
④由題意0≤f（x）＜1，討論0≤x＜1，x≥1和x＜0時，y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的零點情況．

解答：解：∵[x-1]=3，∴

x-1≥3 x-1＜4

，∴4≤x＜5，∴①正確；
∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函數{x}的值域是[0，1），∴②錯誤；
∵{

2012

2013

}=

2012

2013

，{

20122

2013

}={

(2013-1)2

2013

}={2013-2+

1

2013

}=

1

2013

，{

20123

2013

}={

(2013-1)3

2013

}={2013²-3×2013+3-

1

2013

}={-

1

2013

}=

2012

2013

，…，{

20122012

2013

}=

1

2013

，∴{

2012

2013

}+{

20122

2013

}+{

20123

2013

}+…+{

20122012

2013

}=

2012

2013

+

1

2013

+

2012

2013

+…+

1

2013

=1006，∴③正確；
∵f（x）=

{x} x≥0 f(x+1) x＜0

，∴0≤f（x）＜1；當0≤x＜1時，f（x）=x，∴y=x-

1

4

x-

1

4

有零點x=

1

3

；當x≥1時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-

1

4

x-

1

4

在x=1時有最大值

1

2

，且無最小值，∴函數y有一零點；當x＜0時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-

1

4

x-

1

4

在x=0時有極小值-

1

4

，且無最大值，∴函數y有一零點；∴④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了新定義下的函數值的求解，以及函數的定義域值域問題，解題的關鍵弄清題意，結合所學的知識尋找解題的方法，是易錯題．