Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若當g（x）≤5時，恒有f（x）≤6，求a的最大值；
（Ⅱ）若當x∈R時，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由g（x）≤5⇒-2≤x≤3，f（x）≤6⇒a-3≤x≤3，利用g（x）≤5是f（x）≤6的充分條件即可求得a的取值范圍，繼而可得其最大值；
（Ⅱ）依題意，知|a-1|+a≥3，通過對參數(shù)a的范圍的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3；
f（x）≤6?|2x-a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x≤3．
依題意有，a-3≤-2，即a≤1．
故a的最大值為1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a，
當且僅當（2x-a）（2x-1）≥0時等號成立．
解不等式|a-1|+a≥3，
當a≥1時，2a-1≥3，解得a≥2；
當a＜1時，1≥3，這不可能；
綜上所述，a≥2．
∴a的取值范圍是[2，+∞）…（10分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查絕對值不等式的解法，通過對參數(shù)a的范圍的分類討論，去掉絕對值符號是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．