Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：①f（x）=f（-x-2）；②函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式π^f（x）＞（

1

π

）^2-tx在|t|≤2時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）=f（-x-2）⇒y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程是x=-1，于是有b=2a，依題意，方程組

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，利用△=0即可求得b與a，從而得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，知f（x）＞tx-2在|t|≤2時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（t）=xt-（

1

2

x²+x-2），由

g(-2)＜0 g(2)＜0

即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由①可知，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）圖象對(duì)稱軸方程是x=-1，∴b=2a；
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，所以方程組

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，即方程ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴b=1，a=

1

2

，
所以，函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=

1

2

x²+x．
（Ⅱ）∵π＞1，∴π^f（x）＞（

1

π

）^2-tx等價(jià)于等價(jià)于f（x）＞tx-2，
即不等式

1

2

x²+x＞tx-2在|t|≤2時(shí)恒成立，…（6分）
問題等價(jià)于一次函數(shù)g（t）=xt-（

1

2

x²+x-2）在|t|≤2時(shí)恒成立，
∴

g(-2)＜0 g(2)＜0

，即

x2-2x+4＞0 x2+6x+4＞0

，
解得：x＜-3-

5

或x＞-3+

5

，
故所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查二次函數(shù)的性質(zhì)，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造函數(shù)思想與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．