Question

（本小題滿分14分）.已知函數(shù)，（a為實(shí)數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）求在區(qū)間[t，t+2]（t >0）上的最小值；

（Ⅲ）若存在兩不等實(shí)根，使方程成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.求出導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線的方程；（Ⅱ）求導(dǎo)得，易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.接下來結(jié)合圖象對(duì)分情況討論.顯然當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由于必有，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；（Ⅲ）首先分離參數(shù)可得：.下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的圖象及性質(zhì)，結(jié)合圖象即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，． 1分

，故切線的斜率為． 2分

所以切線方程為:，即． 4分

（Ⅱ），

	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以 7分

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以 8分

（Ⅲ）由，可得：， 9分

，

令， ．

	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

，， .

．

結(jié)合圖象可知實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與不等式