Question

如圖，圓O與離心率為

3

2

的橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l₁、l₂與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d₁、d₂，求d₁²+d₂²的最大值；
②若3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率以及經(jīng)過的特殊點，求出a、b、c，即可求出橢圓方程，圓的方程．由題意知：
（2）設(shè)P（x₀，y₀），利用l₁⊥l₂，得到

d

2 1

+

d

2 2

=PM2=

x

2 0

+(y0+1)2，通過-1≤y₀≤1求出

d

2 1

+

d

2 2

的最大值以及點的坐標(biāo)．
（3）設(shè)l₁的方程為y=kx+1，聯(lián)立方程解得A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)；解得C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)，然后求出B，D，求出3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

中的向量，利用等式得

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

，推出k，然后求出直線方程．

解答： 解：（1）由題意知：

c

a

=

3

2

，b=1，c2+b2=a2解得a=2，b=1，c=

3

可知：
橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1與圓O的方程x²+y²=1…（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）因為l₁⊥l₂，則

d

2 1

+

d

2 2

=PM2=

x

2 0

+(y0+1)2，因為

x 2 0

4

+

y

2 0

=1
所以

d

2 1

+

d

2 2

=4-4

y

2 0

+(y0+1)2=-3(y0+

1

3

)2+

16

3

，…（7分）
因為-1≤y₀≤1所以當(dāng)y0=-

1

3

時

d

2 1

+

d

2 2

取得最大值為

16

3

，此時點P(±

4 2

3

，-

1

3

)…（9分）
（3）設(shè)l₁的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 x2+y2=1

解得A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)；
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

解得C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)…（11分）
把A，C中的k置換成-

1

k

可得B(

2k

k2+1

，

k2-1

k2+1

)，D(

8k

k2+4

，

k2-4

k2+4

)…（12分）
所以

MA

=(-

2k

k2+1

，

-2k2

1+k2

)，

MC

(-

8k

4k2+1

，

-8k2

1+4k2

)，

MB

=(

2k

k2+1

，

-2

k2+1

)，

MD

=(

8k

k2+4

，

-8

k2+4

)
由3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

得

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

解得k=±

2

…（15分）
所以l₁的方程為y=

2

x+1，l₂的方程為y=-

2

2

x+1
或l₁的方程為y=-

2

x+1，l₂的方程為y=

2

2

x+1…（16分）

點評：本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，直線方程的求法，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．