【題目】已知橢圓的焦距為8,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形。

(1)求的方程;

(2)設(shè)的左焦點(diǎn),為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)的垂線交于兩點(diǎn),.

(i)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));

(ii)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)由已知,根據(jù)橢圓的焦距為8,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求得的值,即可求得橢圓的方程;

(2)(。┰O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,驗(yàn)證當(dāng)時(shí),平分顯然成立;當(dāng)由直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組,求解中點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到結(jié)論;

(ⅱ)由(。┛芍,求得,得到,利用基本不等式,即可求解.

1)由已知,得. 因?yàn)?/span>,易解得.

所以,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí),軸垂直的中點(diǎn)平分顯然成立

當(dāng)由已知可得:

則直線的方程為:

設(shè)

消去得:

中點(diǎn)的坐標(biāo)為

在直線.

綜上平分線段

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),由可知

/span>

(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立),

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

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【題目】若函數(shù)滿足:對(duì)于其定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量,都有函數(shù)值,則稱函數(shù)上封閉.

1)若下列函數(shù):的定義域?yàn)?/span>,試判斷其中哪些在上封閉,并說明理由.

2)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,是否存在實(shí)數(shù),使得在其定義域上封閉?若存在,求出所有的值,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求這5名幸運(yùn)之星中獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率;

(2)設(shè)、分別為獲得、兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)并記,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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