【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1(a>b>0)的離心率為,橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(1)

(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 已知過點(diǎn)M(0,-1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于AB兩點(diǎn),試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),并說明理由.

【答案】(1)1;(2)過定點(diǎn),理由見解析.

【解析】

(1) 橢圓上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)到左、右焦點(diǎn)的距離的最小值為ac,結(jié)合離心率可求得,從而可得,得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 先根據(jù)直徑AB豎直和水平兩種情況,猜出定點(diǎn)可能為D(03),再考慮是否為零.

(1) 由題意,得解得所以b2a2c29.

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.

(2) 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),以AB為直徑的圓的方程為x2y29

當(dāng)直線l的斜率為零時(shí),以AB為直徑的圓的方程為x2(y1)216.

這兩圓僅有唯一公共點(diǎn),也是橢圓的上頂點(diǎn)D(0,3).猜想以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D(0,3)

證明如下:

(向量法) 設(shè)直線l的方程為ykx1,A(x1,y1)B(x2,y2).只要證x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)0即可.

即要證(1k2)x1x24k(x1x2)160.

消去y,得(12k2)x24kx160,

Δ16k264(12k2)>0,此方程總有兩個(gè)不等實(shí)根x1x2.

所以x1x2,x1x2.

所以(1k2)x1x24k(x1x2)16160.

所以DADB,所以,以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D(03)

練習(xí)冊系列答案
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連續(xù)劇

連續(xù)劇播放時(shí)長/min

廣告播放時(shí)長/min

收視人次/萬人

70

5

60

60

5

25

電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)長不多于,廣告的總播放時(shí)長不少于,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍,分別用,表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù),要使總收視人次最多,則電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)分別為(

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(1)寫出第一次服藥后,y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t);

(2)據(jù)進(jìn)一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí),治療有效.求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長?

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(2)設(shè)的左焦點(diǎn),為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)的垂線交于兩點(diǎn),.

(i)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));

(ii)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)。

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求直線的斜率;

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