Question

1．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²（a＞0），若對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 可求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{a}{x}+x$，而根據(jù)題意便可得出f′（x）≥2對于任意x＞0都成立，這樣便可得出x²-2x+a≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立，從而有二次函數(shù)y=x²-2x+a的最小值$\frac{4a-4}{4}≥0$，從而可求出a的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{a}{x}+x$；
根據(jù)$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}≥2$恒成立得：$\frac{a}{x}+x≥2$恒成立；
整理成，x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴$\frac{4a-4}{4}≥0$；
∴a≥1；
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線斜率的計算公式，以及熟悉二次函數(shù)的圖象．