Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，1）（x≥1），則cosθ+sinθ的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 法一：直接利用任意角的三角函數(shù)結(jié)合不等式的性質(zhì)，求解即可．
法二：利用輔助角公式化簡(jiǎn)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．

解答 解：法一：
角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，1）（x≥1），
∴r=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
cosθ=$\frac{x}{r}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$．sinθ=$\frac{y}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∴cosθ+sinθ=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{x+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{x+\frac{1}{x}}}$．
∵$x+\frac{1}{x}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}＞0$，
∴1＜cosθ+sinθ≤$\sqrt{2}$．
故得cosθ+sinθ的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
法二：由題意，令f（θ）=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（θ）取得最大值為$\sqrt{2}$，此時(shí)P（1，1）．
∵x≥1，
∴0＜tanθ=$\frac{y}{x}≤1$，即$0＜θ≤\frac{π}{4}$，
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
得cosθ+sinθ的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義的運(yùn)用，基本知識(shí)的考查．