Question

2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當(dāng)α=36°時，求β的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．
（3）若點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB，且BC²=3OA²，試求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可知：OA=OB；則在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；則再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AOB的度數(shù)；最后根據(jù)圓周角定理可以求得β的度數(shù)；
（2）由（1）可猜想α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；同（1）一樣∠OBA=∠OAB=α，則∠AOB=180°-2α，β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，所以可求β=$\frac{1}{2}$（180°-2α）=90°-α，則α+β=90度；
（3）證明AC=BC=$\sqrt{3}$OA，過O作OK⊥AC于K，連接OC，由垂徑定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，可得∠CAO=30°，∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，△ABC為正三角形，即可求α的度數(shù)．

解答 解：（1）連接OB，則OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，∴∠AOB=180°-36°-36°=108°，
∴β=∠C=∠AOB=54°．                                      …（3分）
（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；證明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴β=$\frac{1}{2}$（180°-2α）=90°-α，∴α+β=90°．…（6分）
（3）∵點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$
∴AC=BC，
又∵BC²=3OA²，∴AC=BC=$\sqrt{3}$OA，
過O作OK⊥AC于K，連接OC，由垂徑定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，∴∠CAO=30°
易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC為正三角形，
則：α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …（10分）

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)以及圓周角定理．要熟練掌握這些性質(zhì)定理才能靈活運(yùn)用．