Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：i）f（x）＞0的解集為（0，1）；ii）對(duì)任意x∈R都有-3x²-1≤f（x）≤6x+2成立．?dāng)?shù)列
{a_n}滿(mǎn)足：a₁=

1

3

．0＜a_n＜

1

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求證：

2

1-2a1

+

2

1-2a2

+

2

1-2a3

+…+

2

1-2an

-3ⁿ⁺¹≥-3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）可令x=-1，得到-4≤f（-1）≤-4，即可得到f（-1）；
（2）由不等式的解集，可設(shè)f（x）=ax（x-1），代入f（-1），即可得到a，進(jìn)而得到解析式；
（3）化簡(jiǎn)a_n+1=f（a_n），令b_n=1-2a_n，則b_n+1=b_n²，兩邊取對(duì)數(shù)，得到等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，
則

2

1-2an

=2×32n-1，再由等比數(shù)列的求和公式，通過(guò)作差，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答： （1）解：由于對(duì)任意x∈R都有-3x²-1≤f（x）≤6x+2成立，則
令x=-1，得-4≤f（-1）≤-4，則f（-1）=-4；
（2）解：由于f（x）＞0的解集為（0，1），可設(shè)f（x）=ax（x-1），
由f（-1）=-4，可得，a=-2，則f（x）=-2x²+2x；
（3）證明：a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n，
=-2（a_n-

1

2

）²+

1

2

，
則

1

2

-a_n+1=2（

1

2

-a_n）²，即有1-2a_n+1=（1-2a_n）²，
令b_n=1-2a_n，則b_n+1=b_n²，由于0＜a_n＜

1

2

，
則有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n，b₁=1-

2

3

=

1

3

，
即有l(wèi)gb_n=lgb₁•2^n-1，則b_n=(

1

3

)2n-1，則

2

1-2an

=2×32n-1，
則

2

1-2a1

+

2

1-2a2

+

2

1-2a3

+…+

2

1-2an

-3ⁿ⁺¹+3
=2•

3(1-9n)

1-9

-3ⁿ⁺¹+3=

3

4

（9ⁿ-4•3ⁿ+3）=

3

4

•（3ⁿ-1）（3ⁿ-3）
由于n≥1，則上式≥0，
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查構(gòu)造數(shù)列的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．