【題目】在四棱錐中, 平面, 的中點(diǎn), , , .

(1)求證: ;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)的中點(diǎn),連接,則,先根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明;進(jìn)而可得,再由線(xiàn)面判定定理即可證明平面,從而可得;(2)建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,即可求二面角的余弦值.

試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接,則.

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>平面, 平面,所以

所以平面

因?yàn)?/span>平面,所以;又,所以;

又因?yàn)?/span>, ,所以平面

因?yàn)?/span>平面,所以.

(2)以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

, , ,

, .

設(shè)平面的法向量為,則所以

,所以.

由(1)知平面, 平面,所以.

同理,所以平面

所以平面的一個(gè)法向量.

所以

由圖可知,二面角為銳角,

所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

5

10

合計(jì)

50

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由;

(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差,下面的臨界值表供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式,其中.

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