【題目】在四棱錐中, 平面, 是的中點, , , .
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)取的中點,連接,則,先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明;進而可得,再由線面判定定理即可證明平面,從而可得;(2)建立空間坐標系,分別求出平面與平面的的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,即可求二面角的余弦值.
試題解析:(1)取的中點,連接,則.
因為,所以.
因為平面, 平面,所以又
所以平面
因為平面,所以;又,所以;
又因為, ,所以平面
因為平面,所以.
(2)以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則, , , , ,
, .
設平面的法向量為,則所以
令,所以.
由(1)知平面, 平面,所以.
同理,所以平面
所以平面的一個法向量.
所以,
由圖可知,二面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.
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【題目】已知f(x)=|ax﹣1|(a∈R),不等式f(x)>5的解集為{x|x<﹣3或x>2}.
(1)求a的值;
(2)解不等式f(x)﹣f( )≤2.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b+c=16.
(1)若a=4,b=5,求cosC的值;
(2)若sinA+sinB=3sinC,且△ABC的面積S=18sinC,求a和b的值.
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【題目】古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問:何日相逢?題意是:由垛厚五尺(舊制長度單位, 尺= 寸)的墻壁,大小兩只老鼠同時從墻的兩面,沿一直線相對打洞.大鼠第一天打進尺,以后每天的速度為前一天的倍;小鼠第一天也打進尺,以后每天的進度是前一天的一半.它們多久可以相遇?
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
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【題目】根據(jù)下面的要求,求滿足1+2+3+…+n>500的最小的自然數(shù)n.
(1)畫出執(zhí)行該問題的程序框圖;
(2)以下是解決該問題的一個程序,但有2處錯誤,請找出錯誤并予以更正.
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【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,200),[220.240),
[240,260),[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中x的值;
(2)在月平均用電量為,[220,240),[240,260),[260,280)的三用戶中,用分層抽樣的方法抽取10居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶?
(3)求月平均用電量的中位數(shù).
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【題目】近年空氣質(zhì)量逐步霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重,大氣污染可引起心悸,呼吸困難等心肺疾病,為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機的對入院50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學期望及方差,下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式,其中.)
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