Question

18．已知以C₁為圓心的圓C₁：（x-6）²+（y-7）²=25．及其上一點A（2，4）．
（1）設圓C₂與x軸相切，與圓C₁外切，且圓心C₂在直線x=6上，求圓C₂的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓C₁相交于B，C兩點，且|BC|=|OA|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，即可求圓C₂的標準方程；
（2）設直線l的方程為y=2x+b，則圓心C₁到直線l的距離$d=\frac{|12-7+b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{|5+b|}{{\sqrt{5}}}$．利用|BC|=|OA|，求出b，jk求直線l的方程．

解答 解：（1）因為C₂在直線x=6上，所以可設C₂（6，n），因為圓C₂與x軸相切，
則圓C₂為（x-6）²+（y-n）²=n²．又圓C₂與圓C₁外切，
圓${C_1}：{（x-6）^2}+{（y-7）^2}=25$．
則|7-n|=|n|+5，解得n=1．
所以圓C₂的標準方程為（x-6）²+（y-1）²=1．…（6分）
（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為$\frac{4-0}{2-0}=2$．
設直線l的方程為y=2x+b，則圓心C₁到直線l的距離$d=\frac{|12-7+b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{|5+b|}{{\sqrt{5}}}$．
則$|BC|=2\sqrt{{5^2}-{d^2}}=2\sqrt{25-\frac{{{{（5+b）}^2}}}{5}}$，又$|BC|=|OA|=2\sqrt{5}$，
所以$2\sqrt{25-\frac{{{{（5+b）}^2}}}{5}}=2\sqrt{5}$，解得b=5或b=-15，…（11分）
即直線l的方程為：2x-y+5=0或2x-y-15=0．…（12分）

點評 本題考查直線、圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．