Question

8．我們把一系列向量$\overrightarrow{a_i}$（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$，已知向量列$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$滿足：$\overrightarrow{a_1}$=（1，1），$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）證明：數(shù)列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比數(shù)列；
（2）設θ_n表示向量$\overrightarrow{a_n}$與$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$間的夾角，若b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$，對于任意正整數(shù)n，不等式$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$＞a（a+2）恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量模的坐標公式求出|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|的模，得到|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|與|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|的關系，利用等比數(shù)列的定義能證明數(shù)列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比數(shù)列．
（2）利用向量的坐標形式的數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$，$\overrightarrow{{a}_{n}}$的數(shù)量積，利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式求出夾角的余弦，從而得到b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵向量列$\left\{{\overrightarrow{a{\;}_n}}\right\}$滿足：$\overrightarrow{a_1}$=（1，1），
$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1），
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{n-1}-{y}_{n-1}）^{2}-（{x}_{n-1}+{y}_{n-1}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|，
∴數(shù)列$\left\{{|{\overrightarrow{a_n}}|}\right\}$是等比數(shù)列．
解：（2）∵θ_n表示向量$\overrightarrow{a_n}$與$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$間的夾角，
∴cosQ_n=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n-1}}•\overrightarrow{{a}_{n}}}{|\overrightarrow{{a}_{n-1}}|•|\overrightarrow{{a}_{n}}|}$=$\frac{（{x}_{n-1}，{y}_{n-1}）•\frac{1}{2}（{x}_{n-1}-{y}_{n-1}，{x}_{n-1}+{y}_{n-1}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Q_n=$\frac{π}{4}$，b_n=$\frac{n^2}{π}{θ_n}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$=$\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+…+\frac{2}{2n}$，
記f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，
則f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
∴f（n）隨n單調(diào)增加，
∴f（n）＞m對于一切大于1的自然數(shù)n都成立等價于m＜f（2）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
∵對于任意正整數(shù)n，不等式$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}$+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{n+2}}}}}$+…+$\sqrt{\frac{1}{{{b_{2n}}}}}$=$\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+…+\frac{2}{2n}$＞a（a+2）恒成立，
∴a（a+2）＜2f（2）=$\frac{7}{6}$，
解得-1-$\frac{\sqrt{78}}{6}$＜a＜-1+$\frac{\sqrt{78}}{6}$，
∴實數(shù)a的范圍是（-1-$\frac{\sqrt{78}}{6}$，-1+$\frac{\sqrt{78}}{6}$）．

點評 解決向量的夾角問題一般利用向量的數(shù)量積公式求出夾角余弦，再利用夾角范圍求出夾角；求數(shù)列的前n項和問題，應該先求出數(shù)列的通項，據(jù)通項的特點選擇求和方法．