Question

19．下列命題中：
①在△ABC中，sinA＞sinB，則A＞B；
②若a＞0，b＞0，a+b=4，則$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}$的最大值為3$\sqrt{2}$；
③已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=f（n），則該數(shù)列是等差數(shù)列；
④數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=qⁿ，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{q（1-{q^n}）}}{1-q}$．
正確的命題的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 逐項(xiàng)判斷．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差數(shù)列的函數(shù)特征易得；④易知當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論不正確．

解答 解：
①由正弦定理，當(dāng)sinA＞sinB時(shí)，由 a＞b，故有A＞B，所以①為真；
②$（\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}）^{2}=9+2\sqrt{（a+3）（b+2）}$≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}≤3\sqrt{2}$“=”當(dāng)且僅當(dāng)“$a=\frac{3}{2}，b=\frac{5}{2}$”成立，故②為真；
③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)特征知③正確；
④易知，當(dāng)q=1時(shí)結(jié)論不正確．
總上可得①②③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，基本不等式，等差數(shù)列的通項(xiàng)以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題．其中第2個(gè)命題的判斷是本題難點(diǎn)．屬于中檔題．