Question

6．設(shè){a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，已知a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+1，數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，求數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公差d不為0的等差數(shù)列，運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到所求通項公式；
（2）求得b_n=a_n+1=2n+1，S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n（n+2），可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公差d不為0的等差數(shù)列，
a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得：
a₂²=a₁a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
化為a₁=d=2，
則{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n=a_n+1=2n+1，
數(shù)列{b_n}前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n（n+2），
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和為
$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，同時考查等差數(shù)列的求和公式和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．