Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且f′（1）=1，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點求出b=0，然后根據(jù)f′_（x）=1，求出a的值，再根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求出a_n的通項公式，
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得b_n=n-3²ⁿ，即可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ，再寫出9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺²，兩式相減整理可得數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵y=f（x）的圖象過原點，
∴f（x）=x²-ax
由f′_（x）=2x-a得f′_（x）=2-a=1，
∴a=1，
∴f_（x）=x²-x，
∴S_n=n²-n，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，（n≥2））
∵a₁=S₁=0，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-2（n∈N⁺）．
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得b_n=n•3²ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•3²+2•3⁴+3•3⁶+…+n•3²ⁿ ①
∴9T_n=3⁴+2•3⁶+3•3⁸+…+n•3²ⁿ⁺² ②，
②-①得8T_n=n-3²ⁿ⁺²-9-（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ ）=n-3²ⁿ⁺²-$\frac{{3}^{2n+2}-{3}^{4}}{8}$，
∴T_n=$\frac{n-{3}^{2m+2}}{8}$-$\frac{{3}^{2n+2}-81}{64}$=$\frac{（8n-1）•{3}^{2n}+9}{64}$．

點評 本題主要考查數(shù)列的求和和等差數(shù)列的通項公式的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出a和b的值，熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式．