Question

19．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣方法抽取50名同學(xué)（男30，女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間想象能力與性別有關(guān)？
附表及公式

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．
（Ⅱ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女同學(xué)中任意抽取2名同學(xué)對他們的答題情況進行全程研究，記丙，丁2名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，求出K²=$\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，從而有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間想象能力與性別有關(guān)．
（Ⅱ）由題設(shè)可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2名的方法共有28種．其中丙，丁2人沒有被抽到的方法有15種，恰有1人被抽到的方法12種，2人都被抽到方法有1種，所以X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，得${K^2}=\frac{{50×{{（22×12-8×8）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$
所以有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間想象能力與性別有關(guān)．…（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2名的方法共有$C_8^2=28$種．
其中丙，丁2人沒有被抽到的方法有$C_6^2=15$種，
恰有1人被抽到的方法$C_2^1C_6^1=12$種，
2人都被抽到方法有1種，所以X的可能取值為0，1，2…（8分）
$P（X=0）=\frac{15}{28}，P（X=1）=\frac{12}{28}，P（X=2）=\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

…（10分）
∴$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．