14.已知銳角△ABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足$\sqrt{3}$a=2bsinA.
(1)求角B的大。
(2)若b=$\sqrt{7}$,a+c=4,求△ABC的面積.

分析 (1)由已知根據(jù)正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA,結(jié)合sinA>0,可求sinB,結(jié)合B的范圍,即可求B的值.
(2)由余弦定理ac=3,利用三角形面積公式即可得解得解.

解答 (本題滿分為10分)
解:(1)由$\sqrt{3}$a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得
$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA,…(2分)
∵sinA>0,
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
則由△ABC為銳角三角形,得B=$\frac{π}{3}$. …(4分)
(2)∵b=$\sqrt{7}$,a+c=4,B=$\frac{π}{3}$,
∴由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB,…(6分)
得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
即7=16-2ac(1+$\frac{1}{2}$),解得ac=3.…(9分)
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$. …(10分)

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求甲乙兩人各摸一次球就終止的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

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幾何題代數(shù)題總計(jì)
男同學(xué)22830
女同學(xué)81220
總計(jì)302050
(Ⅰ)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間想象能力與性別有關(guān)?
附表及公式
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,n=a+b+c+d.
(Ⅱ)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女同學(xué)中任意抽取2名同學(xué)對他們的答題情況進(jìn)行全程研究,記丙,丁2名女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

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