Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極大值；
（Ⅱ）當(dāng)m＞n＞1（m，n∈Z）時，證明：$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$$＞\frac{n}{m}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn，設(shè)g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，（x＞1），通過討論g（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，x∈（0，+∞），
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0得：x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x）的極大值為：f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1+1=-lna，
綜上：當(dāng)a≤0時f（x）無極大值；當(dāng)a＞0時f（x）的極大值為-lna．
（2）當(dāng)m＞n＞1，（m．n∈Z）時，
$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{n}{m}$
?$\frac{1}{m}$lnn-$\frac{1}{n}$lnm＞lnn-lnm
?$\frac{n-1}{n}$lnm＞$\frac{m-1}{m}$lnn
?$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn，
設(shè)g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，（x＞1），
則g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$
由（1）知：當(dāng)a=1時，
函數(shù)f（x）=lnx-x+1的極大值也是最大值為：f（1）=-ln1=0，
所以f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即：lnx≤x-1，
所以g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$＞0，（x＞1），
故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn成立，
即$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{n}{m}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．