Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)過點P（2，1）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點恰好為點P，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，解出即可得出；
（2）設(shè)直線的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，兩式相減再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）由題得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
解得a²=8，b²=4．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)直線的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
兩式相減得 $（{x}_{1}+{x}_{2}）+2（{y}_{1}+{y}_{2}）\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=0，
∵P是AB中點，∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
代入上式得：4+4k=0，解得k=-1，
∴直線l：x+y-3=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、“點差法”、斜率計算公式、中點坐標坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．