Question

2．如圖在半徑為5cm的圓形的材料中，要截出一個(gè)“十字形”ABCDEFGHIJKL，其為一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的圖形．（O為圓心）
（1）若要使截出的“十字形”的邊長(zhǎng)相等（DE=CD）（圖1），此時(shí)邊長(zhǎng)為多少？
（2）若要使截出的“十字形”的面積為最大（圖2），此時(shí)∠DOE為多少？（用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)“十字形”的邊長(zhǎng)相等時(shí)，過O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．設(shè)該“十字形”的邊長(zhǎng)為2x，則DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得邊長(zhǎng)；
（2）過O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)“十字形”的邊長(zhǎng)相等時(shí)，過O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．設(shè)該“十字形”的邊長(zhǎng)為2x，則DM=x，OM=3x．
在Rt△OMD中，由勾股定理得，x²+（3x）²=25，可得x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$…5分
所以，邊長(zhǎng)2x=$\sqrt{10}$cm…6分
（2）過O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．設(shè)∠DOM=θ，則OM=5cosθ，DM=5sinθ．
∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ-5sinθ．…8分
∴“十字形”的面積為S=（2OM）²-4（NM）²=100cos²θ-100（cosθ-sinθ）²=$100（\frac{{\sqrt{5}}}{2}sin（2θ+φ）-\frac{1}{2}）$（ 其中$cosφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$tanϕ=\frac{1}{2}$） $（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$…10分
∴當(dāng)$2θ+ϕ=\frac{π}{2}$時(shí)，${S_{max}}=50（{\sqrt{5}-1}）\;c{m^2}$…12分
此時(shí)，$∠DOE=2θ=\frac{π}{2}-arccos\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{π}{2}-arctan\frac{1}{2}$…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．