Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點與拋物線y²=-8x的焦點重合，斜率為1的直線l與雙曲線交于A、B兩點，若A，B中點坐標為（-3，-1），則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 斜率為1的直線l設為y=x+t，代入中點（-3，-1），可得t=2，代入雙曲線方程，由韋達定理和中點坐標公式可得a，b的關系，再由雙曲線的a，b，c和離心率公式計算即可得到．

解答 解：斜率為1的直線l設為y=x+t，
由中點（-3，-1）可得t=2，
即y=x+2，代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
可得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=-6，
即有a²=3b²，
則c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查離心率的求法，同時考查雙曲線方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，屬于中檔題．