Question

1．（1）已知直線l的斜率k=1-m²（m∈R），求直線l的傾斜角的取值范圍；
（2）已知數列{a_n}滿足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），求其通項公式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得tanθ=1-m²≤1，再由0≤θ＜π 可得傾斜角θ的取值范圍；
（2）根據數列遞推式，確定{a_n+1}是以3為首項，2為公比的等比數列，從而可求數列的通項公式．

解答 解：（1）直線l的斜率k=1-m²（m∈R），故tanθ=1-m²≤1，
再由0≤θ＜π 可得0≤θ≤$\frac{π}{4}$，或π＞θ＞$\frac{π}{2}$，故傾斜角θ的取值范圍為[0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π）．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=2，∴a₁+1=3，
∴{a_n+1}是以3為首項，2為公比的等比數列
∴a_n+1=3•2^n-1，
∴a_n=3•2^n-1-1．

點評 本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關系，考查數列遞推式，考查構造法證明等比數列，考查數列的通項，解題的關鍵是構造法證明等比數列．