Question

6．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界，已知函數(shù)f（x）=2+asinx-cos²x．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的值域，并判斷對任意x∈R函數(shù)f（x）是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若對任意x∈R函數(shù)f（x）是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入函數(shù)的表達(dá)式，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合有界函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，
（2）由題意知，|f（x）|≤4對x∈[0，+∞）恒成立．令t=sinx，對t∈[-1，1]恒成立，求出單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最值，從而求出a的值．

解答 解：（1）令t=sinx，t∈[-1，1]，g（t）=t²-2t+1⇒g（t）∈[0，4]，所以y=f（x）得值域為[0，4]
所以存在M=4使得|f（x）|≤4，則y=f（x）為有界函數(shù)．
（2令t=sinx，t∈[-1，1]，k（t）=t²+at+1）若y=f（x）為以4為上界函數(shù)，則
必有$\left\{\begin{array}{l}|{k（1）}|≤4\\|{k（-1）}|≤4\end{array}\right.可得-2≤a≤2$，此時函數(shù)k（t）=t²+at+1的對稱軸$t=\frac{-a}{2}∈[{-1，1}]$，
當(dāng)-2≤a≤2時$|{k（-\frac{a}{2}）}|=|{\frac{a^2}{4}-1}|≤1＜4$，
因此若對任意x∈R函數(shù)f（x）是以4為上界的有界函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍為{a|-2≤a≤2}．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題