【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn) ,動點(diǎn)P滿足 .設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線 .
(1)求曲線E的軌跡方程;
(2)若l與曲線E交于不同的C,D兩點(diǎn),且 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率;
(3)若 是直線l上的動點(diǎn),過Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點(diǎn)為M,N,探究:直線MN是否過定點(diǎn).
【答案】
(1)解:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為
由 ,得:
整理得:曲線的E軌跡方程為 x 2 + y 2 = 4。
(2)解:依題意圓心到直線l的距離 ,
∴:k=±.
(3)解:由題意可知: 四點(diǎn)共圓且在以O(shè)Q為直徑的圓上,設(shè) ,
其方程為 ,即:
又M,N在曲線 上,
,
即 ,由 得 ,
直線MN過定點(diǎn) .
故答案為:直線MN過定點(diǎn) ( , 1 ).
【解析】(1)本題先假設(shè)出點(diǎn)p的坐標(biāo),將已知條件代入即可求出軌跡方程。
(2)根據(jù)圓心到直線的距離可利用到未知數(shù)斜率k,進(jìn)而求出k值。
(3)根據(jù)已知條件假設(shè)出以O(shè)Q為直徑圓的方程,再假設(shè)出直線MN的方程式,進(jìn)而代入即可求出直線MN是否過定點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+b(a,b∈R),曲線f(x)在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)+ ≥1;
(3)已知滿足xlnx=1的常數(shù)為k.令函數(shù)g(x)=mex+f(x)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…),若x=x0是g(x)的極值點(diǎn),且g(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD為正方形,過A作線段SA⊥平面ABCD,過A作與SC垂直的平面交SB,SC,SD于E,K,H,求證:E是點(diǎn)A在直線SB上的射影.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣ (k+1)x2+3kx+1,其中k∈R.
(1)當(dāng)k=3時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,5]上的值域;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為3,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱 中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱CC1 , BB1上的點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC上的動點(diǎn),EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,試判斷點(diǎn)M的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì)).
(1)求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率;
(2)(理)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望 (文)求P(ξ=1)的值
(3)(理)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1 , AB⊥AC,M是CC1的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上運(yùn)動.
(Ⅰ)求證:PN⊥AM;
(Ⅱ)試確定點(diǎn)P的位置,使直線PN和平面ABC所成的角最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R的函數(shù) 是偶函數(shù),且滿足 上的解析式為 ,過點(diǎn) 作斜率為k的直線l , 若直線l與函數(shù) 的圖象至少有4個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=x (m∈Z)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),則f(2)的值為________.
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