【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若,,判斷函數(shù)上的單調(diào)性;

(2)令,若,求證:方程無(wú)實(shí)根.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)證明

【解析】

1)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出,(2)方程fx)﹣mx+1lnx0,轉(zhuǎn)化為x2exmx+1lnxx2x+1)﹣mx+1lnx=(x+1)(x2mlnx),構(gòu)造函數(shù)hx)=x2mlnx,利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明.

1)由已知,所以,

所以 ,

①若,在上恒有,

所以,所以上為單調(diào)遞減;

②若,圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn),

設(shè)的兩根分別為,.

i)若,

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以,此時(shí)上和上分別單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;

ii)若,,.

所以,上總有;在當(dāng)上,.

所以此時(shí)上單調(diào)增,在上單調(diào)減.

綜上:若上為單調(diào)遞減;

,上和上分別單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;

,上單調(diào)增,在上單調(diào)減.

2)由題知,,所以,

對(duì)任意實(shí)數(shù),恒成立,

所以,即,

,

,

所以 ,

因?yàn)?/span>,所以 ,

所以時(shí),,時(shí),

所以上有最小值,

所以 ,

因?yàn)?/span>,所以,所以,

所以,即時(shí),對(duì)任意,,

所以,

所以方程無(wú)實(shí)根.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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