Question

【題目】如圖，已知直三棱柱中，，，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且．

(1)證明：無論取何值，總有平面；

(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，滿足平面與平面的夾角為．

【解析】

(1)以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，寫出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明，即可；

(2)只需根據(jù)條件出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式并結(jié)合平面與平面的夾角為，建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,，，，，，

由，可得點(diǎn)，

所以，．

又，所以，，

所以，，又，所以平面，

所以無論取何值，總有平面 ．

（2）設(shè)是平面的法向量，，，

則，即，得，

令，所以是平面的一個(gè)法向量．

取平面的一個(gè)法向量為．

假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則，

化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）．

綜上，存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，滿足平面與平面的夾角為．