Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，E為C的上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線EF的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)$（0，-\frac{2}{3}）$且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，E為C的上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線EF的距離為$\sqrt{2}$，列出方程組，求出a=2，b=c=$\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)動直線l的方程為：y=kx-$\frac{2}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{2}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-$\frac{8}{3}kx$-$\frac{28}{9}$=0，由此利用韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在y軸上不存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
F為C的右焦點(diǎn)，E為C的上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線EF的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×a=\frac{1}{2}bc}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)動直線l的方程為：y=kx-$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{2}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-$\frac{8}{3}kx$-$\frac{28}{9}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8k}{3（2{k}^{2}+1）}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{28}{9（2{k}^{2}+1）}$，
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，
則$\overrightarrow{MA}$=（x₁，y₁-m），$\overrightarrow{MB}$=（x₂，y₂-m），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}-\frac{2}{3}）（k{x}_{2}-\frac{2}{3}）$-m（kx₁-$\frac{2}{3}$+kx₂-$\frac{2}{3}$）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（$\frac{2}{3}$+m）（x₁+x₂）+m²+$\frac{4}{3}m$+$\frac{4}{9}$
=-$\frac{28（{k}^{2}+1）}{9（2{k}^{2}+1）}$-k（$\frac{2}{3}+m$）•$\frac{8k}{3（2{k}^{2}+1）}$+${m}^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}$
=$\frac{（18{m}^{2}-36）{k}^{2}+（9{m}^{2}+12m-24）}{9（2{k}^{2}+1）}$，
由假設(shè)得對于任意的k∈R，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{18{m}^{2}-36=0}\\{9{m}^{2}+12m-24=0}\end{array}\right.$，
解得m不存在．
因此，在y軸上不存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．