Question

11．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）+2f（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$，且f（1）=$\frac{1}{{4e}^{2}}$，則不等式f（lnx）＞f（3）的解集為（　�。�

• A． （-∞，e³）
• B． （0，e³）
• C． （1，e³）
• D． （e³，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：[e^2x（x）]′=lnx+$\frac{1}{2}$，兩邊積分，求得函數(shù)f（x）的解析式，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得不等式的解集．

解答 解：由題意f′（x）+2f（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$，即[e^2x•f（x）]′=lnx+$\frac{1}{2}$，
兩邊積分可知：e^2x（x）=xlnx-x+$\frac{1}{2}$x+C，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+C}{{e}^{2x}}$，
由f（1）=$\frac{1}{{4e}^{2}}$，代入解得：C=$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}{{e}^{2x}}$，
求導(dǎo)f′（x）=$\frac{-2xlnx+lnx+x-1}{{e}^{2x}}$，由e^2x＞0
令g（x）=-2xlnx+lnx+x-1，求導(dǎo)g′（x）=-2lnx+$\frac{1}{x}$-1，
令g′（x）=0，解得：x=1，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f′（x）取最大值，最大值為0，
即f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}{{e}^{2x}}$，單調(diào)遞減，
∴由f（lnx）＞f（3），則0＜lnx＜3，
即1＜x＜e³，
故不等式的解集（1，e³），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查不定積分的求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于難題．