Question

6．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E為BC點(diǎn)，F(xiàn)棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱錐D-ABC的體積；
（2）求證：AC⊥平面DEF；
（3）若M為DB中點(diǎn)，N在棱AC上，且CN=$\frac{3}{8}$CA，求證：MN∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）直接利用體積公式，求三棱錐D-ABC的體積；
（2）要證AC⊥平面DEF，先證AC⊥DE，再證AC⊥EF，即可．
（3）M為BD的中點(diǎn)，連CM，設(shè)CM∩DE=O，連OF，只要MN∥OF即可．

解答 （1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，
∴三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$．
（2）證明：取AC的中點(diǎn)H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）解：連CM，設(shè)CM∩DE=O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO=$\frac{2}{3}$CM．
當(dāng)CN=$\frac{3}{8}$CA時(shí)，CF=$\frac{2}{3}$CN，∴MN∥OF．
∵M(jìn)N?平面DEF，OF?平面DEF，
∴MN∥平面DEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，證明線面垂直，線面平行，考查體積的計(jì)算，考查邏輯思維能力，是中檔題．