Question

4．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，若在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，D為BC中點(diǎn)，則AD的長為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，再由向量的中點(diǎn)表示，化簡整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即為$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{a}$²=-1，
在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，D為BC中點(diǎn)，
則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
可得$\overrightarrow{AD}$²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）=$\frac{1}{4}$（1+4-2×1）=$\frac{3}{4}$，
可得AD的長為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的中點(diǎn)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．