Question

2．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$．用向量法解決下列問題：
（Ⅰ）若AC的中點為E，求A₁C與DE所成的角；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC-D₁（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A₁C與DE所成的角．
（Ⅱ）求出平面B₁AC的法向量和平面D₁AC的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AC-D₁（銳角）的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）由AD=CD，AC的中點為E，∴DE⊥AC．
如圖，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意可得A（0，0，0 ），B（1，0，0），A₁（0，0，2
C（0，2，0），D（-2，1，0），B₁（1，0，2），
D₁（-2，1，2），E（0，1，0）．…（3分）
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{DE}$=（2，0，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0，∴A₁C⊥DE，
∴A₁C與DE所成的角為$\frac{π}{2}$． …（6分）
（Ⅱ）設(shè)平面B₁AC與平面D₁AC所成的角為θ，
平面B₁AC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，1），平面D₁AC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，1）．
$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，-1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}A}=-x-2=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}A}=2a-b-2=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2b=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+1|}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角B₁-AC-D₁（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$． …（12分）

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．