Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在遞增；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，遞減為；（2）．

【解析】

（1）求得，分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性與最值，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）由函數(shù)，，

可得，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

令，解得；令，解得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為，

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為．

（2）函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，其中，

等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，其中．

由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

此時(shí)為函數(shù)的最大值，

當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，∴，解得，

此時(shí)，，且，

，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴的取值范圍是．