【題目】如圖,在多邊形中(圖1).四邊形為長(zhǎng)方形,為正三角形,,,現(xiàn)以為折痕將折起,使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的中點(diǎn)(圖2).
(1)證明:平面:
(2)若點(diǎn)在線段上,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)作,垂足為,由于點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是中點(diǎn),可得平面,進(jìn)一步得到,又因?yàn)?/span>,,則平面;
(2)取的中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,代入夾角公式可求出結(jié)果.
(1)作的中點(diǎn),連接,由題知平面.
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,
所以平面.
(2)取的中點(diǎn),連接,則,,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,
,,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則有,令,所以
易知平面的一個(gè)法向量為
所以,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位同學(xué)在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50,100]內(nèi),將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1,s2,s3,則它們的大小關(guān)系為( )
A.s1s2s3B.s1s3s2
C.s3s1s2D.s3s2s1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與y軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T且垂直于l的直線與直線相交于點(diǎn)M.
(1)求M的軌跡方程;
(2)設(shè)M位于第一象限,以AM為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:a=1時(shí),f(x)+g(x)﹣(1)lnx>e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底, 是的中點(diǎn)。
(1)證明:直線平面;
(2)點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的右頂點(diǎn)為.左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于點(diǎn)(在第象限),直線的斜率為,與軸交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(、不與、重合),若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號(hào)電視機(jī)在10個(gè)賣(mài)場(chǎng)的銷售量(單位:臺(tái)),并根據(jù)這10個(gè)賣(mài)場(chǎng)的銷售情況,得到如圖所示的莖葉圖.
為了鼓勵(lì)賣(mài)場(chǎng),在同型號(hào)電視機(jī)的銷售中,該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣(mài)場(chǎng)命名為該型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣(mài)場(chǎng)”.
(1)當(dāng)時(shí),記甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣(mài)場(chǎng)”數(shù)量為,乙型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣(mài)場(chǎng)”數(shù)量為,比較的大小關(guān)系;
(2)在這10個(gè)賣(mài)場(chǎng)中,隨機(jī)選取2個(gè)賣(mài)場(chǎng),記為其中甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣(mài)場(chǎng)”的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若,記乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的方差為,根據(jù)莖葉圖推斷為何值時(shí),達(dá)到最小值.(只需寫(xiě)出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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