Question

5．在△ABC中，已知A（0，2），B（2，0），C（-2，-1）
（1）求BC邊上的高AH所在的直線方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．
（2）利用點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得，B，C兩點連線的斜率k_BC=$\frac{-1-0}{-2-2}=\frac{1}{4}$，
依題意AH⊥BC，∴${k_{AH}}=-\frac{1}{{{k_{BC}}}}=-4$，又A（0，2），
由斜截式得高AH所在的直線方程為y=-4x+2，即4x+y-2=0．…（6分）
（2）設BC邊上的高為h，則S_△ABC=$\frac{1}{2}|BC|•h$．
$|BC|=\sqrt{{{（-2-2）}^2}+{{（-1）}^2}}=\sqrt{17}$．
由（1）k_BC=$\frac{1}{4}$，又B（2，0），
由點斜式得BC邊所在的直線方程為y-0=$\frac{1}{4}$（x-2），即x-4y-2=0．
BC邊上的高為h就是點A（0，2）到BC的距離，
所以，$h=\frac{|0-4×2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-4）}^2}}}}=\frac{10}{{\sqrt{17}}}$，
因此，△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}|BC|•d=\frac{1}{2}×\sqrt{17}×\frac{10}{{\sqrt{17}}}=5$．…（12分）

點評 本題考查了斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．