Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，3，…．令b_n=

1

an

-1．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）令c_n=2n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出1+

1

an

=

2

an+1

，從而得到

1

2

(

1

an

-1)=

1

an+1

-1，再由

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，能證明{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此得到b_n=

1

an

-1=(

1

2

)n．
（Ⅱ）由c_n=2n•b_n=2n•（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1=

2an

an+1

，
∴an+1an +a_n+1=2a_n，∴1+

1

an

=

2

an+1

，
∴

1

2

+

1

2an

=

1

an+1

，∴

1

2

(

1

an

-1)=

1

an+1

-1，
∵a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∵b_n=

1

an

-1，∴{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=

1

an

-1=(

1

2

)n．
（Ⅱ）解：∵c_n=2n•b_n=2n•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2•

1

2

+4•

1

22

+6•

1

23

+…+2n•

1

2n

，①

1

2

Tn=2•

1

22

+4•

1

23

+6•

1

24

+…+2n•

1

2n+1

，②
∴①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴Tn =4-

n+2

2n-1

．

點評：本題考查數(shù)列是等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．