Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足Sn=2an-2(n∈N*)．
（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=2^x互為反函數(shù)，令b_n=f（a_n），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅱ）已知數(shù)列{c_n}滿足cn=

2

3

[

an

4

+(-1)n-1]，證明：對(duì)任意的整數(shù)k＞4，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

8

9

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．再利用互為反函數(shù)的意義可得f（x），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出T_n．
（Ⅱ）c₄=2，當(dāng)n≥3時(shí)，且n為奇數(shù)時(shí)，可得

1

cn

+

1

cn+1

＜

3

2

(

1

2n-2

+

1

2n-1

)．
①當(dāng)k＞4時(shí)，且k為偶數(shù)時(shí)，由

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

=

1

c4

+(

1

c5

+

1

c6

)+…+(

1

ck-1

+

1

ck

)利用上述結(jié)論和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
②當(dāng)k＞4時(shí)，且k為奇數(shù)時(shí)，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

+

1

ck+1

，利用上述結(jié)論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
∵函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=2^x互為反函數(shù)，∴f（x）=log₂x．
∴b_n=f（a_n）=log₂a_n=log22n=n．
∴a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得：-Tn=2+22+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
（II）c4=

2

3

[

24

4

+(-1)3]=2，
當(dāng)n≥3時(shí)，且n為奇數(shù)時(shí)，

1

cn

+

1

cn+1

=

3

2

(

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

)
=

3

2

•

2n-2+2n-1

22n-3+2n-1-2n-2-1

＜

3

2

•

2n-2+2n-1

22n-3

=

3

2

(

1

2n-2

+

1

2n-1

)．
①當(dāng)k＞4時(shí)，且k為偶數(shù)時(shí)，
有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

=

1

c4

+(

1

c5

+

1

c6

)+…+(

1

ck-1

+

1

ck

)
＜

1

2

+

3

2

(

1

23

+

1

24

+…+

1

2k-2

)
=

1

2

+

3

2

×

1

4

×

1 2 [1-( 1 2 )k-4]

1- 1 2

=

1

2

+

3

2

×

1

4

×[1-(

1

2

)k-4]＜

1

2

+

3

8

=

7

8

＜

8

9

．
②當(dāng)k＞4時(shí)，且k為奇數(shù)時(shí)，
有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

+

1

ck+1

＜

1

2

+

3

2

×

1

4

×[1-(

1

2

)k-3]＜

7

8

＜

8

9

．
綜上可知：對(duì)任意的整數(shù)k＞4，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求a_n、反函數(shù)的意義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．