Question

1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x}{1-x}$的圖象上任意兩點，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}）$，已知點M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，則M點的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）知M為線段AB的中點，利用中點坐標(biāo)公式得出x₁+x₂=1，
求出y₁+y₂的值，即可得出點M的縱坐標(biāo)．

解答 解：根據(jù)題意，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴M為線段AB的中點；
又因為M的橫坐標(biāo)為x=$\frac{1}{2}$，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{1}}{1{-x}_{1}}$）+（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{2}}{1{-x}_{2}}$）
=1+log₂（$\frac{{x}_{1}}{1{-x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1{-x}_{2}}$）
=1+log₂$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{1-{（x}_{1}{+x}_{2}）{{+x}_{1}x}_{2}}$
=1+log₂1=1，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$，
∴點M的縱坐標(biāo)為y=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量與中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題，也考查了對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合題．