【題目】已知,
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,在其公共點處切線相同,求實數(shù)a的值;
(3)記,若函數(shù)存在兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:;增區(qū)間為:(2)(3)a>e
【解析】
(1)根據(jù),求導(dǎo),由求減區(qū)間,由求增區(qū)間.
(2)由,求導(dǎo),根據(jù),在其公共點處切線相同,由求解.
(3)易得,x>0.,求導(dǎo),令得,,然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.
(1)因為,
所以,
得x=-1,
當(dāng)x<-1時,;當(dāng)x>-1時,.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:;增區(qū)間為:.
(2)由,.
因為點為函數(shù)的公共點,且函數(shù)在點P處的切線相同,
所以,且.
所以,
即,
顯然a≠0,所以.
設(shè),由得,在上是單調(diào)增函數(shù),
又,所以.
(3)由得,,x>0.
則,
令得,.
設(shè),由(1)知,在上是單調(diào)增函數(shù).
1°當(dāng)a≤0時,由x>0得,,
所以,所以在上是單調(diào)增函數(shù),至多1個零點,不符,舍去.
2°當(dāng)a>0時,因為,,
由零點存在性定理,,在上是單調(diào)增函數(shù)且連續(xù),
所以存在唯一,使得,即.
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
因為存在兩個零點,
所以,即,從而.
所以.
因為在上是單調(diào)增函數(shù),
且,所以,
由(1)可知,在是單調(diào)遞增,
所以.
又,,
而,易得,,
所以,
由零點存在性定理知,函數(shù)在上存在唯一一個零點,在上存在唯一一個零點,
此時函數(shù)存在兩個零點.
所以a>e.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①,且,②,且,③,且這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的存在,求出和數(shù)列的通項公式與前項和;若不存在,請說明理由.
設(shè)為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和,滿足________,是否存在,使得數(shù)列成為等差數(shù)列?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價,需了解該商品的月銷售量(單位:萬件)與月銷售單價(單位:元/件)之間的關(guān)系,對近個月的月銷售量和月銷售單價數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:
月銷售單價(元/件) | ||||||
月銷售量(萬件) |
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位實習(xí)員工求得回歸直線方程分別為:,和,其中有且僅有一位實習(xí)員工的計算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)知識,判斷哪位實習(xí)員工的計算結(jié)果是正確的,并說明理由;
(2)若用模型擬合與之間的關(guān)系,可得回歸方程為,經(jīng)計算該模型和(1)中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)分別為和,請用說明哪個回歸模型的擬合效果更好;
(3)已知該商品的月銷售額為(單位:萬元),利用(2)中的結(jié)果回答問題:當(dāng)月銷售單價為何值時,商品的月銷售額預(yù)報值最大?(精確到)
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】斐波拉契數(shù)列,指的是這樣一個數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,在數(shù)學(xué)上,斐波拉契數(shù)列{an}定義如下:a1=a2=1,an=an﹣1+an﹣2(n≥3,n∈N),隨著n的增大,越來越逼近黃金分割0.618,故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列,而以an+1、an為長和寬的長方形稱為“最美長方形”,已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米,則該長方形的長大約是( )
A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣alnx(a<0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2(x1<x2),且關(guān)于x的方程f(x)=b(b∈R)恰有三個實數(shù)根x3,x4,x5(x3<x4<x5),求證:2(x2﹣x1)>x5﹣x3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是由和組成的一個平面圖形,其中是的高,,,,將和分別沿著,折起,使得與重合于點B,G為的中點,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求點C到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:()的焦點為F,過F且斜率為1的直線與C交于A,B兩點,.
(1)求C的方程;
(2)過點的直線l交C于點M,N,點Q為的中點,軸交C于點R,且,證明:動點T在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個點,己知恰有800個點落在陰影部分,據(jù)此可估計陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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