Question

13．若行列式$|{\begin{array}{l}1&2&4\\{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}&0\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}&8\end{array}}|$中元素4的代數(shù)余子式的值為$\frac{1}{2}$，則實(shí)數(shù)x的取值集合為$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$．

Answer 1

分析 求得元素4的代數(shù)余子式，展開，利用二倍角公式，及特殊角的三角函數(shù)值，即可求得實(shí)數(shù)x的取值集合．

解答 解：行列式$|{\begin{array}{l}1&2&4\\{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}&0\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}&8\end{array}}|$中元素4的代數(shù)余子式A₁₃=$[\begin{array}{l}{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}\end{array}]$=$\frac{1}{2}$，
則cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$，則cosx=$\frac{1}{2}$，
解得：x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z，
實(shí)數(shù)x的取值集合$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
故答案為：$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$．

點(diǎn)評 本題考查行列式的代數(shù)余子式求法，行列式的展開，二倍角公式，特殊角的三角形函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．