Question

18．已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊，$b=\sqrt{3}$．
（1）若$C=\frac{5π}{6}$，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求c；
（2）若$B=\frac{π}{3}$，求2a-c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式，即可求得a，根據(jù)余弦定理，即可求得c的值；
（2）根據(jù)正弦定理，分別求得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=2sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sinC，則2a-c=4sinA-2sinC=2$\sqrt{3}$cosC，$0＜C＜\frac{2π}{3}$，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得2a-c的取值范圍．

解答 解：（1）∵$C=\frac{5π}{6}$，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$b=\sqrt{3}$，
∴由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×a×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a=2．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=$4+3-2×2×\sqrt{3}×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=13$．
∴$c=\sqrt{13}$，
c的值為$\sqrt{13}$；
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R．
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=2sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sinC，
∴$2a-c=4sinA-2sinC=4sin（\frac{2π}{3}-C）-2sinC$
=$4（sin\frac{2π}{3}cosC-cos\frac{2π}{3}sinC）-2sinC=2\sqrt{3}cosC$，
∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$0＜C＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{1}{2}＜cosC＜1$，
∴$-\sqrt{3}＜2\sqrt{3}cosC＜2\sqrt{3}$，
∴2a-c的取值范圍為$（-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．