【題目】已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點,焦點在 X 軸上,橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點( A,B 不是左右頂點),且以 AB 為直徑的圖過橢圓 C 的右頂點.求證:直線 l 過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
【答案】
(1)
【解答】由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,由已知得: ,
所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)
【解答】設(shè) .聯(lián)立
得 ,則
又
因為以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點 ,
,即 . 所以.
. .
解得: ,且均滿足 .
當(dāng) 時, l 的方程 ,直線過點 (2,0) ,與已知矛盾;
當(dāng) 時, l 的方程為 ,直線過定點 .
所以,直線 l 過定點,定點坐標(biāo)為 .
【解析】(1)橢圓 的中心在坐標(biāo)原點,焦點在 軸上,橢圓 上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1;可得 ;進而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)中由直線交橢圓于不同兩點得不等式△>0,由中點橫坐標(biāo)得一方程,兩者聯(lián)立即可求得范圍,稱為“方程不等式法”,解題中注意應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心, |CO| 為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M,N.
(1)若點C的縱坐標(biāo)為2,求|MN| .
(2)若|AF|2=|AM|·|AN| ,求圓C的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).
(1)若曲線g(x)=f(x)+x上點(1,g(1))處的切線過點(0,2),求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)無零點,求實數(shù)a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)k∈R,對任意的向量 , 和實數(shù)x∈[0,1],如果滿足 ,則有 成立,那么實數(shù)λ的最小值為( )
A.1
B.k
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+ a)的定義域為R;命題q:不等式3x-9x<a對一切正實數(shù)均成立.如果命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍( ).
A.0≤a<1
B.0≤a
C.a≤1
D.0≤a≤1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在點處的切線為,求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,求證:在時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),
(1)求f(x)的表達式;
(2)求g(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
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