Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若在點(diǎn)處的切線為，求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，求證：在時(shí)，.

Answer 1

【答案】(1) 切線方程得：,(2) 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（3）見(jiàn)解析．

．

【解析】試題分析:

（I）通過(guò)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x﹣ey+b=0，可得f′（e）= ，解得 ，再將切點(diǎn)（e，﹣1）代入切線方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；

（II）由（I）知：f′（x）＝ （x＞0），結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；

（III）通過(guò)變形，只需證明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，利用g′（x）= ，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得結(jié)論．

（1）∵，∴，

又在點(diǎn)的切線的斜率為，∴，∴，

∴切點(diǎn)為把切點(diǎn)代入切線方程得：；

（2）由（1）知：①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

∴在上是單調(diào)減函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)變化時(shí)，隨變化情況如下表：當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單單調(diào)增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

(3)當(dāng)時(shí)，要證，即證，令，只需證，∵由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知：在上是增函數(shù)又，，∴，在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，也即在上有唯一零點(diǎn)設(shè)的零點(diǎn)為，則，即，由的單調(diào)性知：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，等號(hào)不成立，∴.

點(diǎn)睛: 本題考查求函數(shù)解析式，函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性定理，(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）研究單調(diào)性，即研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)；（2）：證明恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．