Question

已知橢圓C的中心為O，左焦點為F（-1，0），且過點（

3

，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P為橢圓上的任意一點，求

OP

•

FP

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，解出即可得到；
（2）設(shè)P（2cosα，

3

sinα），運用向量的數(shù)量積的坐標公式，化簡配方，再由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，
解得，a²=4，b²=3，
則橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)P（2cosα，

3

sinα），
則

OP

•

FP

=（2cosα，

3

sinα）•（2cosα+1，

3

sinα），
=2cosα（2cosα+1）+3sin²α=cos²α+2cosα+3，
=（cosα+1）²+2，由于-1≤cosα≤1，
則cosα=1時，取得最大值，且為6．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．