已知曲線C:x2+y2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0.
(1)證明:不論a取何實數(shù),曲線C必過定點;
(2)當a≠1時,若曲線C與直線y=2x-1相切,求a的值;
(3)對所有的a∈R且a≠1,是否存在直線l與曲線C總相切?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請說明理由.
(1)證明:曲線C的方程可變形為(x2+y2+2y-1)+(-2x-2y+2)a=0,
x2+y2+2y-1=0
-2x-2y+2=0
,…(2分)
解得
x=1
y=0
,點(1,0)滿足C的方程,
故曲線C過定點(1,0).…(4分)
(2)原方程配方得(x-a)2+(y-a+1)2=2(a-1)2;由于a≠1,所以2(a-1)2>0,
所以C的方程表示圓心是(a,a-1),半徑是
2
|a-1|
的圓.…(6分)
由題意得圓心到直線距離d=
|a|
5
,…(8分)
2
|a-1|=
|a|
5
,解得a=
10±
10
9
.…(10分)
(3)法一:由(2)知曲線C表示圓設圓心坐標為(x,y),則有
x=a
y=a-1
,
消去a得y=x-1,故圓心必在直線y=x-1上.
又曲線C過定點(1,0),所以存在直線l與曲線C總相切,…(12分)
直線l過點(1,0)且與直線y=x-1垂直;
∴l(xiāng)方程為y=-(x-1)即y=-x+1.…(16分)
法二:假設存在直線l滿足條件,顯然l不垂直于x軸,設l:y=kx+b,
圓心到直線距離d=
|ka+b-a+1|
1+k2

|ka+b-a+1|
1+k2
=
2
|a-1|
對所有的a∈R且a≠1都成立,…(12分)
即(k+1)2a2-2(2k2+k+kb-b+1)a+2(k+1)2-(b+1)2=0恒成立
(k+1)2=0
2k2+k+kb-b+1=0
2(k+1)2-(b+1)2=0
k=-1
b=1

∴存在直線l:y=-(x-1)即y=-x+1與曲線C總相切.…(16分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:x2-y|y|=1.
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個公共點,求m的取值范圍;
(3)若過點P(0,2)的直線與曲線C在x軸上方的部分交于不同的兩點M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•浦東新區(qū)模擬)已知曲線C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)若直線l:y=kx-1與曲線C有兩個公共點,求k的取值范圍;
(3)若P(0,p)(p>0),Q為曲線C上的點,求|PQ|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)(文)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個公共點,求m的取值范圍;
(理)若直線l:y=kx-1與曲線C有兩個公共點,求k的取值范圍;
(3)若P(0,p)(p>0),Q為曲線C上的點,求|PQ|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C:x2-y|y|=1.
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個公共點,求m的取值范圍;
(3)若過點P(0,2)的直線與曲線C在x軸上方的部分交于不同的兩點M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年上海市徐匯區(qū)零陵中學高三3月綜合練習數(shù)學試卷(五)(解析版) 題型:解答題

已知曲線C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)(文)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個公共點,求m的取值范圍;
(理)若直線l:y=kx-1與曲線C有兩個公共點,求k的取值范圍;
(3)若P(0,p)(p>0),Q為曲線C上的點,求|PQ|的最小值.

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